Teorema de Gauss

 

¿Qué dice el teorema de Gauss?

Dice que es posible encontrar una raíz de un polinomio entre los divisores de su término independiente, o entre las fracciones que se puedan formar entre los divisores de su término independiente y de su coeficiente principal. En este caso de factoreo necesitamos esas raíces del polinomio y de ahí cobra importancia esto que dice Gauss.

Buscamos esas raíces que menciona Gauss que ayudarán a factorizar el polinomio. Podemos pensar que las raíces son ciertos números que vamos a usar para dividir al polinomio por otro de la forma (x-raíz). Por ejemplo: si una posible raíz del polinomio es 2, vamos a dividir al polinomio por (x-2).

¿Cómo se buscan las raíces del polinomio?

Para encontrar raíces, hay que buscar primero divisores del término independiente del polinomio y del coeficiente principal. Por ejemplo:

En el polinomio: 2x-3x-11x+6, el término independiente es 6 y el coeficiente principal es 2.

Tenemos que buscar los divisores de 6 y divisores de 2.

Divisores de 6: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6.

Divisores de 2: 1, -1, 2, -2.

Entonces se pueden buscar "raíces del polinomio", en todas las fracciones que se puedan entre un divisor de 6 (independiente) arriba y un divisor de 2 (coeficiente principal) abajo. 

¿Qué son las raíces de un polinomio?

Un número es raíz de un polinomio cuando al reemplazarlo por su variable el resultado da cero. Se le llama raíces a esos números que hacen que un polinomio de 0. Por ejemplo:

x2+3x+2=

Si reemplazo la x con (-2), tenemos que:

(-2)2+3.(-2)+2= 4-6+2= 0. Podemos decir que -2 es raíz de un polinomio.

En cambio, si reemplazo la x por el número 3, tenemos que:

32+3.3+2= 9+9+2= 20. El valor del polinomio es diferente a cero. 

Entonces, el número 3 no es raíz de ese polinomio. 

A este tipo de pruebas se le llama "hallar el valor numérico del polinomio" o también se le dice "especificar el polinomio en tal número".

Y en general a los polinomios se los llama con una letra y una variable entre paréntesis, así:

P(x)= x3+2x2-5x-6

Esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos un número en esa x que está en el paréntesis, estamos "especificando" al polinomio en ese número o hallando su valor numérico para ese número:

P(-3)= (-3)3+2.(-3)2-5.(-3)-6= -27+18+15-6= 0.